1. Deducción y demostración a partir de las razones fundamentales.
a) Relaciones cosientes.
Las identidades trigonométricas de cociente son dos: tangente y cotangente y tienen la propiedad de relacionar, por medio de un cociente, las funciones trigonométricas seno y coseno.
Si consideramos el siguiente triángulo rectángulo ABC
Función
Cociente
Demostración
Tangente A
La razón de seno x entre coseno de x se cumple para:
En este cuadrante el cateto adyacente está sobre el eje “x” y el cateto opuesto sobre el eje “y”, la hipotenusa es el radio de la circunferencia.
Como el c, opuesto, c. adyacente y la hipotenusa son positivos, todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.
b) En diferentes cuadrantes.
Segundo cuadrante: En este cuadrante, el cateto adyacente es negativo y el cateto opuesto es positivo también es positiva la hipotenusa. Por lo que el coseno, la tangente, la secante y la cotangente son negativas.
Tercer cuadrante: En este cuadrante el cateto adyacente y el cateto opuesto son negativos y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto la tangente y la cotangente resultan positivas y las demás negativas.
Cuarto cuadrante: En este cuadrante el cateto adyacente es positivo y el cateto opuesto es negativo y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto el coseno y la secante serán positivas.
4. Mediante razones trigonométricas.(triangulo rectángulo)
+
+conocen la hipotenusa y un cateto: En este caso se debe encontrar el otro cateto (el lado c
) y los dos ángulos agudos (es decir,B
y C
).
El angulo B es :B = arcsin (b/a)
El angulo C es :C = 90º - B
El lado c es: c = a . cos (B)
Se conocen dos catetos: En este caso se tiene que encontrar los dos ángulos agudos (B y C) y la hipotenusa (es decir, el lado a).
Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo: En este caso se deberá hallar el otro ángulo agudo (es decir, C) y los dos catetos (los lados b y c).
Se conocen un cateto y un ángulo agudo: Aquí se deberá calcular el otro ángulo agudo (como antes C), la hipotenusa (el lado a) y el otro cateto (el lado c).
5. Mediante dibujo a escala.
Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En el caso del triángulo Rectángulo, sabemos que uno de los ángulos es un ángulo recto, es decir, dos de sus lados (catetos) son perpendiculares entre si. De esta forma, para construir un triángulo rectángulo, tan solo necesitaremos dos datos.
6. Ley de senos.(triángulos oblicuángulos)
La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado. En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces .
7. Ley de cosenos.
La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse. La ley de los cosenos establece: c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .
2. Grafica de funciones. a) Seno. Uso de la función seno: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto opuesto al ángulo dado. b) Coseno. Uso de la función coseno: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa.
c) Tangente. Uso de la función tangente: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto.
e) Secante. Uso de la función secante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno. f) Consecante. Uso de la función cosecante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.
. 
